Linear Continuous-time Model
[システム同定ゼミ]http://yoh.ise.ibaraki.ac.jp/
1.1 モデルの表現
1.1.1 線形定係数常微分方程式
\[\dfrac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\dfrac{d^m u(t)}{dt^m}+b_{m-1}\dfrac{d^m-1}a(t)\\ dt^{m-1}+\cdots +b_1\dfrac{du(t)}{dt}+b_0u(t)\]1.1.2 ラプラス変換
ラプラス変換
逆ラプラス変換（あまり使わない）
最終値の定理
- 初期値の定理 (あまり使わない)
1.1.3 フーリエ変換
- フーリエ変換
- パーセバルの等式
信号のエネルギーが周波数領域と時間領域で等しいことを表す等式である． 左: 時間領域における信号の 2 乗=power. 右: 周波数領域における信号の 2 乗=power.
1.1.4 インパルス応答と伝達関数
畳み込み表現
\[y(t) = \int_{0}^{t}g(t-r)u(r)dr = \int_{0}^{t}g(r)u(t-r)dr\]- インパルス応答
離散インパルス信号
\[\delta(n)= \begin{cases} 1 &(n=0)\\ 0 &(n\neq0) \end{cases}\]伝達関数の周波数表現
$s=j\omega$
1.2 モデルの実例
微分方程式：
\[L\frac{di}{dt}+Ri=u(t), \: i(0)=0\]伝達関数：
\[G(s)=\frac{1}{Ls+R}=\frac{1}{L}\frac{1}{(s+\frac{R}{L})}\](1)単位インパルス
$u(t)=\delta(t)$:
インパルス応答：
\[g(t)=\mathcal{L}^{-1}|G(s)|=\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\]意味：
マイナスの実数根であるので，安定性である．
インパルス応答のフーリエ変換は，周波数応答になり，
\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{F}[g(t)]&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}t}e^{-j\omega t}dt \\ &=\frac{1}{L}\frac{-1}{\frac{R}{L}+j\omega} \left[ e^{-(\frac{R}{L}+j\omega)t} \right]_{0}^{\infty} \\ &=\frac{-1}{R+Lj\omega}(0-1) \\ &=\frac{1}{Lj\omega+R} \end{aligned} \end{equation}\]つまり，伝達関数に $s=j\omega$ に代入することと同じである．
(2) 交流起電力
$u(t)=E_0\sin{\omega t}$
\[U(s)=E_0\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\]応答：
\[\begin{equation} \begin{split} i(t)&=\mathcal{L}^{-1}\left[G(s)U(s)\right]\\ &=E_0\omega\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{(s^2+\omega^2)(Ls+R)} \right]\\ \end{split} \end{equation}\]部分分数展開：
\[P(s)=\frac{1}{(s^2+\omega^2)(Ls+R)}=\frac{a}{Ls+R}+\frac{bs}{s^2+\omega^2}+\frac{c}{s^2+\omega^2}\] \[\begin{equation} =\frac{as^2+a\omega^2+bLs^2+bRs+cLs+cR}{(s^2+\omega^2)(Ls+R)} \end{equation}\]$s^2:$
\[a+bL=0 \to b=-\frac{a}{L}\]$s:$ $ $bR+cL=0 \to -\frac{a}{L}R+cL=0 \to c=a\frac{R}{L^2}$$
$s^0:$
\[a\omega^2+cR=1 \to a\omega^2+a\frac{R^2}{L^2}=1 \to a=\frac{L^2}{R^2+\omega^2L^2}\]そして，
\[b=-\frac{L}{R^2+\omega^2L^2},\: c=\frac{R}{R^2+\omega^2L^2}\]よって，
\[\frac{1}{(s^2+\omega^2)(Ls+R)}=\frac{L^2}{R^2+\omega^2L^2}(\frac{1}{Ls+R})-\frac{L}{R^2+\omega^2L^2}(\frac{s}{s^2+\omega^2})+\frac{R}{R^2+\omega^2L^2}(\frac{1}{s^2+\omega^2})\]返して，応答は
\[\begin{equation} \begin{split} i(t)&=\frac{E_0\omega}{R^2+\omega^2L^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{L^2}{Ls+R}-\frac{Ls}{s^2+\omega^2}+\frac{R}{s^2+\omega^2} \right] \\ &=\frac{E_0\omega}{R^2+\omega^2L^2}\left( Le^{-\frac{R}{L}t}-L\cos{\omega t+\frac{R}{\omega}\sin{\omega t}} \right) \end{split} \end{equation}\]意味:
過渡解: $s=-\frac{R}{L}$ (共役複素根)強制解: $s=(j\omega) :or (-j\omega)$
低周波と高周波に対しての評価: $\omega \to \infty:$ $i(t)\to0$ ので，lowpass フィルタである．
(3)ステップ入力
$u(t)=1:(t\ge0)$
\[U(s)=\frac{1}{s}\]ステップ応答：
\[\begin{equation} \begin{split} i(t)&=\mathcal{L}^{-1}[G(s)U(s)] \\ &=\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s(Ls+R)} \right] \end{split} \end{equation}\]ヘビサイドの公式で部分分数展開：
\[P(s)=\frac{1}{s(Ls+R)}=c_1\frac{1}{s}+c_2{\frac{1}{Ls+R}}\] \[\begin{equation} \begin{split} &c_1=sP(s)|_{s=0}=\frac{1}{L\times0+R}=\frac{1}{R}\\ &c_2=(Ls+R)P(s)|_{s=-\frac{R}{L}}=-\frac{L}{R} \end{split} \end{equation}\]よって，ステップ応答は(一次遅れ系のステップ応答)
\[\begin{equation} \begin{split} i(t)&=\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s(Ls+R)} \right] \\ &=\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{R}\frac{1}{s}-\frac{L}{R}\frac{1}{Ls+R} \right] \\ &=\frac{1}{R}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{R}{L}} \right] \\ &=\frac{1}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}) \end{split} \end{equation}\]意味:
$t=\frac{L}{R}$で$i(t)=\frac{1}{R}(1-e^{-1})\thickapprox 0.632\times \frac{1}{R}$ 定常値 63.3%
この時，$\frac{L}{R}$ が応答の速さを支配するパラメータで，時定数とよばれる．$\frac{L}{R}$ が小さければ，応答が早く，逆に大きければ遅くなる．