Filter

Posted Mar 9, 2023

By Guang-Ze Yang 4 min read

信号処理における フィルタ とは，信号の周波数特性を操作するものであり，信号の不要な周波数成分を除去したり減衰したりして，必要な周波数成分のみからなる信号を得る処理をするものである．

理想的なフィルタとは,

フィルタ設計のステップ

(1) フィルタの近似所望の特性をもつ伝達関数を設計する．
(2)回路実現求められた伝達関数を抵抗やコンデンサ，コイルｍオペアンプなどの素子を用いて回路として実現する．
フィルタの設計は LPF 低域通過フィルタが基本となっている．

代表的なフィルタ

バターワースフィルタ:

\[|H(\omega)|^2=\frac {1}{1+{(\omega/\omega_c)}^{2N}}\]

そして，連続時間伝達関数の絶対値の 2 乗 $|H(s)|^2$ を得るために，$s=j\omega$ を代入すると，
\[|H(s)|^2=|H(\omega)|^2_{\omega=s/j}=\frac {1}{1+(-j)^{2N} {(s/\omega_c)}^{2N}}=\frac {1}{1+(-1)^{2N}(j^2)^N {(s/\omega_c)}^{2N}}\] \[=\frac {1}{1+(-1)^{N} {(s/\omega_c)}^{2N}}\]
Filter の極を求めるために，分母=0 とすると，
\[(-1)^{N} {(s/\omega_c)}^{2N}=-1\]
が得られる．
複素数の n 乗根: $\omega=R(\cos\alpha+j\sin\alpha)$ >$s=r(\cos\theta+j\sin\theta)$ >$s^n=r^n(\cos{n\theta}+j\sin{n\theta})=R(\cos\alpha+j\sin\alpha)$ よって， $r=R^{1/n}$ >$n\theta=\alpha+2\pi k, (k=0,1,\dots,n-1)$ ==n 個根である．== 以上で， $s=\omega^{1/n}=R^{1/n} [\cos (\frac {\alpha+2\pi k}{n} ) +j\sin (\frac {\alpha+2\pi k}{n} )], (k=0,1,\dots,n-1))$
- a) N が偶数の場合
\[{(s/\omega_c)}^{2N}=-1=e^{j(\pi+2k\pi)}\] \[s^{2N}={\omega_c}^{2N}e^{j(\pi+2k\pi)}, k=0,1,\dots,2N-1\]
従って，$2N$ 個の根
\[s_k={\omega_c}・e^{\frac {j(\pi+2k\pi)}{2N}}, k=0,1,\dots,2N-1\]
- b) N が奇数の場合
\[{(s/\omega_c)}^{2N}=1=e^{j(0+2k\pi)}\] \[s^{2N}={\omega_c}^{2N}e^{j(2k\pi)}, k=0,1,\dots,2N-1\]
従って，$2N$ 個の根
\[s_k={\omega_c}・e^{j\frac {k\pi}{N}}, k=0,1,\dots,2N-1\]
伝達関数を求める．安定の根 $s_k$ を選択する(実数部が負数) $H(s)=\frac {1}{(s-s_i)(s-s_j)\dots}$

実際にフィルタを設定する時に，LPF フィルタを分かれば，ほかのフィルタに変換できる．

遮断周波数 の変換(LPF)
\[s→\frac s{\omega_1}\]
通過域$[0,\omega_1], \omega_1$:LPF の遮断周波数
HPF へ
\[s→\frac {\omega_h}{s}\]
通過域$[\omega_h,\infty], \omega_h$:HPF の遮断周波数
BPF へ
\[s→\frac {s^2+{\omega_1}{\omega_2}}{B_\omega s}\]
通過域$[\omega_1,\omega_2], B_\omega$: 帯域幅
BEF へ
\[s→\frac {B_\omega s}{s^2+{\omega_1}{\omega_2}}\]
通過域$[\omega_1,\omega_2], B_\omega$: 帯域幅

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