FIR Filter

10. FIR フィルタ

定義： FIR フィルタ は， Transfer Function が分母をもたないディジタルフィルタ ．

(finite impilse repose, 有限インパルス応答)伝達関数 $H(z)$ が分母がないと， 非巡回型システム である．

特徴: (1) 安定性 が保証されたフィルタを実現できる． (2)設計が比較的容易である． (3)ひずみのない位相特性，つまり， 直線位相特性 を容易に実現できる.

比較：

• FIR フィルタ は（直線）位相特性を重視フィルタ.
• IIR Filter は振幅（急峻な減衰）特性を重視したフィルタ．

\[\frac {Y(z)}{X(z)}=H(Z)=b_0+b_1z^{-1}+\dots+b_Jz^{-J}=\sum_{i=0}^{J} b_iz^{-i}\]

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10.1 理想的なフィルタ

\[H(\omega)=\begin{cases} 1・e^{-j\omega T}, &(|\omega|\leq \omega_c) \\0,&(|\omega|> \omega_c) \end{cases}\]

逆ラプラス変換 すると， インパルス応答 が得られる．

\[h(t)=\frac {1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} 1・e^{-j\omega\tau }e^{j\omega t}d\omega\] \[=\frac {1}{2\pi} [2\frac {\sin {\omega(t-\tau)} }{(t-\tau)}]_{0}^{\omega_c} =\frac {\sin {\omega_c(t-\tau)} }{\pi(t-\tau)}\]

10.2 FIR フィルタと直線位相特性

デジタルフィルタの 差分方程式 ：

\[y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+h(2)x(n-2)+\dots+h(N-1)x(n-(N-1))\] \[=\sum_{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)\]

Blog/subpages/Transfer Function ：

\[H(z)=h(0)+h(1)z^{-1}+h(2)z^{-2}+\dots+h(N-1)z^{-(N-1)}=\sum_{n=0}^{N-1} h(n)z^{-n}\]

$N$ が奇数の場合：

\[H(z)=\sum_{n=0}^{\frac {N-1}{2}-1}h(n)z^{-n}+h(\frac {N-1}{2})z^{-\frac {N-1}{2}}+\sum_{n=\frac {N-1}{2}-+1}^{N-1}h(n)z^{-n}\] \[\sum_{n=\frac {N-1}{2}-+1}^{N-1}h(n)z^{-n}=\sum_{n=0}^{\frac {N-1}2-1}h(N-1-n)z^{-(N-1-n)}\]

インパルス応答が偶対称すれば，直線位相を持つ

\[h(n)=h(N-1-n), (n=0,1,2,\dots,N-1)\]

よって，伝達関数：

\[H(z)=\sum_{n=0}^{\frac {N-1}{2}-1}h(n)z^{-n}+h(\frac {N-1}{2})z^{-\frac {N-1}{2}}+\sum_{n=0}^{\frac {N-1}2-1}h(n)z^{-(N-1-n)}\] \[=z^{-\frac {N-1}{2}} \{ \sum_{n=0}^{\frac {N-1}{2}-1}h(n)z^{-n+\frac {N-1}{2}}+ h(\frac {N-1}{2})+ \sum_{n=0}^{\frac {N-1}{2}-1}h(n)z^{-(N-1-n)+\frac {N-1}{2}} \}\] \[=z^{-\frac {N-1}{2}}\{ h(\frac {N-1}{2})+ \sum_{n=0}^{\frac {N-1}{2}-1}h(n)(z^{-n+\frac {N-1}{2}}+z^{n-\frac {N-1}{2}})\}\]

周波数特性 $z=e^{j\omega T}$

\[H(e^{j\omega T})=e^{-j\omega\frac {N-1}{2}T}[h(\frac {N-1}{2})+ \sum_{n=0}^{\frac {N-3}{2}}h(n)(e^{-j\omega(n-\frac {N-1}{2})T}+e^{j\omega(n-\frac {N-1}{2})T})]\] \[=e^{-j\omega\frac {N-1}{2}T}[h(\frac {N-1}{2})+ 2\sum_{n=0}^{\frac {N-3}{2}}h(n)\cos{\{\omega(n-\frac {N-1}{2}) T}\}]\]

• 振幅特性

  \[\mid h(\frac {N-1}{2})+ 2\sum_{n=0}^{\frac {N-3}{2}}h(n)\cos{\{\omega(n-\frac {N-1}{2}) T}\} \mid\]

• 位相特性

  \[\theta(\omega)=-\omega\frac {N-1}{2}T\dots(直線位相)\]

• ★ Blog/Digital Signal Processing/subpages/群遅延

  \[\tau(\omega)=-\frac {\partial\theta}{\partial\omega}=\frac {N-1}{2}T\dots(群遅延)\]

  (意味：波形全体の遅れを表している)