Discrete-time Systems

6.1 サンプリング定理（標本化定理）

サンプリング定理 または，標本化定理とも呼ばれる．シャノンの標本化定理

信号成分の最大周波数の 2 倍より高いサンプリング周波数を取るべきだ．

信号 $x(t)$ の成分の最大（角）周波数 $\omega_M$ が $\omega_M<\omega_s/2=T/\pi$ を満足するとき，サンプリング定理を満たす．

\[\omega_s>2\omega_M\]

6.2 ★ 伝達関数

線形な離散時間システム の出力は，これまでの出力と入力を用いて，一般的に以下のような線形差分方程式で表すことができる．

\[y(n)+a_1y(n-1)+a_2y(n-2)+\dots+a_Iy(n-I)\] \[=b_0x(n)+b_1x(n-1)+b_2x(n-2)+\dots+b_Jx(n-I)\]

初期値を 0 として， z 変換 すると，

\[Y(z)+a_1Y(z)z^{-1}+a_2Y(z)z^{-2}+\dots+a_IY(z)z^{-I}\] \[=b_0X(z)+b_1X(z)z^{-1}+b_2X(z)z^{-2}+\dots+b_JX(z)z^{-J}\]

となる．従って，

\[\frac {Y(z)}{X(Z)}=H(z)=\frac {b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\dots+b_Jz^{-J}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\dots+a_Iz^{-I}}\]

これは， 離散時間システムの伝達関数 という．分子多項式＝ 0 を満たす z を 零点 という．分母多項式=0 を満たす z を 極 という．

6.3 ★ インパルス応答

連続時間システムのインパルス応答 ：入力 $u(t)=δ(t)$ を Laplace Transforms による 微分方程式 に代入すると，出力 $Y(s)=$ 伝達関数 $H(s)$．つまり，連続時間システムのインパルス応答 $y(t)$ は， 伝達関数の逆ラプラス変換 $h(t)$. 連続時間システムの伝達関数 は, インパルス応答のラプラス変換 $Y(s)$.

離散時間システムのインパルス応答：

6.4 巡回型システムと非巡回型

IIR

• (infinite impiles response, 無限インパルス応答) 伝達関数 $H(z)$ が分母があると， 巡回型システム である．

FIR

• (finite impilse repose, 有限インパルス応答) 伝達関数 $H(z)$ が分母がないと， 非巡回型システム である．

6.5 ディジタル信号処理での基本要素

6.6 ★ 離散時間畳み込み(時間域)

\[y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)h(n-k)\]

因果律に注意する!

• 入力信号のみが因果律を満たす場合：

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{\infty} x(k)h(n-k)\]

• システムのみが因果律を満たす場合：

  \[y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n} x(k)h(n-k)\]

• 入力信号とシステムの両方が因果律を満たす場合：

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{n} x(k)h(n-k)\]

  たたみ込みの対称性：

  \[y(n)=\sum_{k=0}^{n} x(k)h(n-k)=\sum_{k=0}^{n} x(n-k)h(k)\]

6.7 離散時間たたみ込みの意味

6.8 ★ 周波数応答

• 周波数領域変換 $H(z)$ に代入する

  \[z=e^{jωT}\] \[H(e^{j\omega T})=|H(e^{j\omega T})| e^{j\theta}\]

振幅特性

\[|H(e^{j\omega T})|=\sqrt{[Re\{H(e^{j\omega T}\}]^2+[Im\{H(e^{j\omega T}\}]^2}\]

位相特性

\[\theta(\omega)=arg(H(e^{j\omega T}))=tan^-1[\frac {Im\{H(e^{j\omega T})\}}{Re\{H(e^{j\omega T})\}}]\]

群遅延

\[\tau(\omega)=- \frac {\partial\theta(\omega)}{\partial\omega}\]

6.9 ★ 離散時間システム の 安定性

• 連続時間システム：

  \[G(s) →G(j\omega), s=j\omega\]

• 離散時間システム：

  \[H(z)→H(e^{j\omega T}), z=e^{j\omega T}\]

  よって，

  \[z=e^{sT}=e^{j\omega T}\]

  $s=\sigma+j\omega,\sigma=0$ ⇒ $|e^{j\omega T}|=1$ s 平面の虚数軸は，z 平面の単位円に 写像される．

  • 安定 すべての極の絶対値が 1 より小さい
  • 安定限界 極の絶対値が 1 を満たす
  • 不安定 極の絶対値が 1 より大きい