Discrete Fourier transform

5.1 離散時間フーリエ変換の導出

サンプル値の Fourier transform

• サンプル値:

  \[x_{sample}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)\]

  $x(nT)→x(n)$

• Fourier transform:

  \[F\{x_{sample}(t)\}=X_{sample}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} [\sum_{n=0}^{\infty}x(n)\delta(t-nT)]e^{-j\omega t}dt\] \[=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-j\omega t}dt\]

離散時間フーリエ変換：

\[X(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)e^{-j\omega nT}\] \[x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{jn\omega T}d\omega\]

これは， 離散時間フーリエ変換 という．時間は離散だが $(t→nT)$,周波数 $-\pi/T<\omega<\pi/T$ は，連続的な実数である．

5.2 ★DFT(離散フーリエ変換)の導出

離散時間フーリエ変換に従い，周波数 ω を離散化する

\[\omega=[-\pi/T, \pi/T)\]

⇒

\[\omega_k=\frac {2\pi}{T} \frac kN, k= -N/2,\dots,N/2-1\]

**周波数 $ω$ を $k$ で $N$ 個の点に離散化する．**

\[X(k)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)e^{-j \frac {2\pi}N kn}\]

逆離散フーリエ変換：

\[x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\]

ここで，

\[\omega_k=\frac {2\pi}{T} \frac kN \in [-\pi/T, (\pi/T-\frac {2\pi /N}T)]\]

習慣的にマイナスを避けるために，$k=0,\dots,N-1$

\[\omega_k=\frac {2\pi}{T} \frac kN \in [0, (2\pi/T-\frac {2\pi /N}T)]\]

$\color{red}{W=e^{-j\frac {2\pi}N}}$ とすると，

\[F\{x_{sample}(t)\}=X_{sample}(\omega)=X(k)\] \[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{kn}\]

これを離散フーリエ変換（DFT:discrete Fourier transform）という．k は周波数に関する変数，n は時間に関する変数．

5.3 ★ 逆離散フーリエ変換

\[x(n)=F^{-1}\{X(k)\}\] \[=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W^{-kn}\]

5.4 離散フーリエ変換の性質

重ね合わせ定理

★ 周期性 (複素数 W の周期性による)

\[X(k+rN)=X(k)\]

★ 対称性

\[X(N-k)=X^*(k)\]

$X^*(k)$ は, $X(k)$ の共役複素数である．

線形性