BPF双一次変換

Transform function of BPF

BPF(Band-pass filter): バンドバスフィルタ

\[G(s)=\frac{\omega_n s/Q}{s^2+\omega_n s/Q+\omega_n^2}\]

• $\omega_n$: バンド中心周波数(設計値)
• $Q$: カットオフ周波数(設計値)

双一次変換

\[s=\frac{2}{T_s}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\] \[s^2=\frac{4}{T_s^2}\frac{(1-z^{-1})^2}{(1+z^{-1})^2}\]

上式を伝達関数に代入する。

\[\begin{align*} G(z)&=\frac{2\omega_nQ^{-1}T_s^{-1}(1-z^{-1})(1+z^{-1})^{-1}}{4T_s^{-2}(1-z^{-1})^2(1+z^{-1})^{-2}+2\omega_nQ^{-1}T_s^{-1}(1-z^{-1})(1+z^{-1})^{-1}+\omega_n^2} \end{align*}\]

整理すると、

\[G(z)=\frac{N_1(1-z^{-2})}{z^{-2}+D_2z^{-1}+D_3}\]

が得られる。

ただし、

• Num1:

\[N_1 = 2{\omega_n}{Q}^{-1}T_s(4+\omega_n^2T_s^2-2\omega_nT_sQ^{-1})^{-1}\]

• Den2:

\[D_2=(2\omega_n^2T_s^2-8)(4+\omega_n^2T_s^2-2\omega_nT_sQ^{-1})^{-1}\]

• Den3:

\[D_3=(4+2\omega_nT_sQ^{-1}+\omega_n^2T^2)(4+\omega_n^2T_s^2-2\omega_nT_sQ^{-1})^{-1}\]

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