制御対象​

4次の伝達関数で表される制御対象を考える：

状態空間表現への変換​

num = [0 0 12 8];
den = [20 113 147 62 8];
sysg = tf(num, den);                    % 伝達関数
[Ao,Bo,Co,Do] = tf2ss(num,den);        % 状態空間表現への変換

PID制御器​

離散時間での表現（$k \to n$）：

PID制御器伝達関数​

gamma = 4*T;  % γ（微分項のフィルタ時定数）
cp = 6;       % 比例ゲイン
ci = 1;       % 積分ゲイン  
cd = 7;       % 微分ゲイン

数値積分手法による離散化​

1. 前進差分​

PID制御器のZ変換表現​

P-I-D分解実装（推奨方法）​

比例制御（P）：

積分制御（I）：

微分制御（D）：

状態空間表現（前進差分）​

2. 後退差分​

PID制御器のZ変換表現​

P-I-D分解実装​

比例制御（P）：

積分制御（I）：

微分制御（D）：

状態空間表現（後退差分）​

3. 双一次変換法​

PID制御器のZ変換表現​

P-I-D分解実装​

比例制御（P）：

積分制御（I）：

微分制御（D）：

状態空間表現（双一次変換）​

MATLABシミュレーションコード​

プログラミング上の注意点​

inv()  % 逆行列
eye()  % 単位行列I
./     % 行列除算
.*     % 行列要素ごとの乗算

制御ループの実装​

for k=1:N+1
    y(k) = C*x(k) + D*u(k)     % 出力計算
    e(k) = r(k) - y(k)         % 偏差計算
    
    % 離散方法
    up(k) = ...                % 比例制御
    ui(k) = ...                % 積分制御  
    ud(k) = ...                % 微分制御
    u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)
    
    % 前進差分で状態更新
    x(k+1) = x(k) + T*(A*x(k) + B*u(k))
end

完全なシミュレーションコード​

PID制御器比較​

clear
close all
set(0,'DefaultAxesFontName','Times New Roman')
set(0,'DefaultAxesFontSize',22)

%--------------------------------------------------------------------
%  同定ゼミ宿題 PID制御器のシミュレーション
%                                                5/26 by YANG
%---------------------------------------------------------------------

Tmax = 30;    % シミュレーション時間
T = 0.05;     % サンプリング周期
n = Tmax/T;   % サンプル数
gamma = 4*T;  % フィルタ時定数

% PIDパラメータ
cp = 6;       % 比例ゲイン
ci = 1;       % 積分ゲイン
cd = 7;       % 微分ゲイン

% 制御対象
num = [0 0 12 8];
den = [20 113 147 62 8];
sysg = tf(num, den);
[Ao,Bo,Co,Do] = tf2ss(num,den);

% 配列初期化
t = zeros(1, n+1);
r = ones(1, n+1);      % 目標値（ステップ入力）

% 前進差分用配列
upF = zeros(1, n+1);   % P制御入力
uiF = zeros(1, n+1);   % I制御入力
udF = zeros(1, n+1);   % D制御入力
uF = zeros(1, n+1);    % 総制御入力
xF = zeros(4, n+1);    % 状態変数
yF = zeros(1, n+1);    % 出力
eF = zeros(1, n+1);    % 偏差

% 前進差分によるPID制御
for k = 2:n+1
    t(k) = (k-1)*T;
    yF(k) = Co*xF(:,k) + Do*uF(k);
    eF(k) = r(k) - yF(k);
    
    % PID制御計算
    upF(k) = cp*eF(k);
    uiF(k) = uiF(k-1) + ci*T*eF(k-1);
    udF(k) = (cd*(eF(k)-eF(k-1)) - (T-gamma)*udF(k-1))/gamma;
    uF(k) = upF(k) + uiF(k) + udF(k);
    
    % 状態更新
    xF(:,k+1) = xF(:,k) + T*(Ao*xF(:,k) + Bo*uF(k));
end

% 他の手法（後退差分、双一次変換）も同様に実装...

P-I-D個別効果比較​

% P, I, D制御の個別効果を比較するシミュレーション
for k = 2:n+1
    t(k) = (k-1)*T;
    
    % P制御のみ
    ypF(k) = Co*xpF(:,k) + Do*up(k);
    epF(k) = r(k) - ypF(k);
    up(k) = cp*epF(k);
    xpF(:,k+1) = xpF(:,k) + T*(Ao*xpF(:,k) + Bo*up(k));
    
    % I制御のみ
    yiF(k) = Co*xiF(:,k) + Do*ui(k);
    eiF(k) = r(k) - yiF(k);
    ui(k) = ui(k-1) + ci*T*eiF(k-1);
    xiF(:,k+1) = xiF(:,k) + T*(Ao*xiF(:,k) + Bo*ui(k));
    
    % D制御のみ
    ydF(k) = Co*xdF(:,k) + Do*ud(k);
    edF(k) = r(k) - ydF(k);
    ud(k) = (cd*(edF(k)-edF(k-1)) - (T-gamma)*ud(k-1))/gamma;
    xdF(:,k+1) = xdF(:,k) + T*(Ao*xdF(:,k) + Bo*ud(k));
end

結果可視化​

% 制御入力の比較
subplot(2,1,1); 
plot(t,uF,t,uB,t,uD); 
title('制御入力 u(t)');
legend('前進差分','後退差分','双一次変換'); 
ylabel('u(t)'); 
xlabel('Time[sec]'); 
grid on

% 出力応答の比較
subplot(2,1,2);
plot(t,yF,t,yB,t,yD,t,r,'--'); 
title('目標値r(t)と出力y(t)');
legend('前進差分','後退差分','双一次変換','目標値'); 
ylabel('y(t)'); 
xlabel('Time[sec]'); 
grid on

性能比較と考察​

各手法の特性​

PID制御の各要素の役割​

P制御（比例制御）​

• 効果: 偏差に比例した制御
• 特徴: 応答速度の向上、定常偏差の残存
• 調整: ゲインを大きくすると応答が速くなるが、振動しやすくなる

I制御（積分制御）​

• 効果: 偏差の累積を解消
• 特徴: 定常偏差の除去、応答の遅れ
• 調整: ゲインを大きくすると定常偏差は早く除去されるが、オーバーシュートが増加

D制御（微分制御）​

• 効果: 偏差の変化率に基づく制御
• 特徴: 応答の改善、雑音の増幅
• 調整: ゲインを大きくすると安定性は向上するが、雑音に敏感になる

実装上のポイント​

1. ゼロオーダーホールドの適用: 因果関係の保持
2. フォント設定: 可読性の向上
3. 軸ラベルと単位: グラフの明確化
4. 初期値設定: 適切な初期条件の設定

まとめ​

本シミュレーションでは：

1. 離散化手法: 3つの数値積分手法による比較
2. PID制御: 各制御要素の個別効果と統合効果
3. 実装技法: MATLABによる効率的なプログラミング手法
4. 性能評価: 安定性、精度、実用性の観点からの評価

これらの知識は、実際の制御系設計における重要な基盤となる。特に、離散化手法の選択は制御性能に大きく影響するため、システムの特性と要求性能に応じた適切な選択が重要である。

This comprehensive guide explains how to set up Visual Studio Code (VS Code) for remote development on an Ubuntu machine using SSH. This setup enables you to develop directly on remote servers while maintaining the comfort of your local VS Code environment.

Overview​

Remote development with VS Code over SSH provides several benefits:

• Direct server development: Edit files directly on the remote machine
• Consistent environment: Use your local VS Code setup with remote resources
• Security: Encrypted SSH connection protects your work
• Flexibility: Access powerful remote machines from any local device

Prerequisites​

• VS Code installed on your local machine
• Ubuntu machine with network access
• Administrator privileges on both machines

This comprehensive guide covers setting up a complete Ubuntu development environment, including package managers, development tools, GPU support, and machine learning frameworks.

This comprehensive guide explains how to install Ubuntu on a USB drive with a portable GRUB bootloader configuration. This setup allows you to run Ubuntu from any computer while keeping the host system's bootloader intact.

Overview​

Installing Ubuntu on a USB drive provides several advantages:

• Portability: Run your Ubuntu environment on any compatible computer
• Non-invasive: No changes to the host computer's internal storage
• Isolation: Complete separation from host operating system
• Development Environment: Portable development setup for embedded systems
• Recovery Tool: Bootable Ubuntu system for system recovery tasks

Understanding the Boot Process​

Traditional Installation vs USB Installation​

Traditional Installation:

• GRUB installed on internal disk
• EFI files stored in host system's ESP (EFI System Partition)
• GRUB menu appears even without USB drive

USB Installation (This Guide):

• GRUB installed entirely on USB drive
• EFI files contained within USB drive
• Host system remains unchanged
• GRUB only appears when USB is connected

Boot Flow Diagram​

前進差分、後退差分、双一次変換をそれぞれ用いて、例題1.2.1の電気回路のステップ応答を数値計算で求め、数値計算の結果と真の応答をプロットし、比較する。

電気回路モデル​

RL回路の微分方程式：

真の解（ステップ応答）：

数値積分手法​

1. 前進差分（Forward Difference）​

微分の近似：

よって：

整理すると：

時間をシフトして：

2. 後退差分（Backward Difference）​

微分の近似：

よって：

整理すると：

3. 双一次変換（Bilinear Transform）​

台形積分による近似：

微分方程式に適用：

整理すると：

MATLABシミュレーションコード​

初期設定​

clear
close all
set(0,'DefaultAxesFontName','Times New Roman')
set(0,'DefaultAxesFontSize',12)

%--------------------------------------------------------------------
%  同定ゼミ宿題 電気回路応答のシミュレーション
%                                                4/21 by YANG
%---------------------------------------------------------------------

パラメータ設定​

Tmax = 10;           % 最大時間
samp = 0.5;          % サンプリング周期
T = samp;
n = Tmax/samp;       % サンプル数
u = ones(1,n+1);     % ステップ入力

% 回路パラメータ
R = 1;               % 抵抗値
L = 1;               % インダクタンス値

配列初期化​

% 数列
t  = zeros(1, n+1);  % 時間配列
i  = zeros(1, n+1);  % 真の信号
i1 = zeros(1, n+1);  % 前進差分
i2 = zeros(1, n+1);  % 後退差分
i3 = zeros(1, n+1);  % 双一次変換

各手法による数値計算​

真の解析解​

% 真の信号
for k = 2:n+1
    t(k) = (k-1) * samp;
    i(k) = (1 - exp((-t(k)*R)/L)) / R;
end

前進差分​

% 前進差分
for k = 2:n+1
    t(k) = (k-1) * samp;
    i1(k) = (samp*u(k-1) + (L-R*samp)*i1(k-1)) / L;
end

後退差分​

% 後退差分
for k = 2:n+1
    t(k) = (k-1) * samp;
    i2(k) = (T*u(k) + L*i2(k-1)) / (R*samp+L);
end

双一次変換​

% 双一次変換
for k = 2:n+1
    t(k) = (k-1) * samp;
    i3(k) = (T*u(k) + T*u(k-1) + (2*L-R*T)*i3(k-1)) / (2*L+R*samp);
end

結果のプロット​

% 比較プロット
subplot(3,1,1); 
plot(t,i,t,i1); 
title('前進差分');
legend('真の解','前進差分');  
xlabel('t'); 
ylabel('i(t)');
grid on

subplot(3,1,2); 
plot(t,i,t,i2); 
title('後退差分');
legend('真の解','後退差分');      
xlabel('t'); 
ylabel('i(t)');
grid on

subplot(3,1,3); 
plot(t,i,t,i3); 
title('双一次変換');
legend('真の解','双一次変換');  
xlabel('t'); 
ylabel('i(t)');
grid on

数値積分手法の特性比較​

1. 前進差分の特性​

特徴：

• 明示的（explicit）手法
• 計算が簡単
• 安定性に制限がある

安定性条件： $|1 - \frac{RT}{L}| \leq 1$

これより： $T \leq \frac{2L}{R}$

2. 後退差分の特性​

特徴：

• 暗示的（implicit）手法
• 無条件安定
• 計算がやや複雑

安定性： 分母が$RT + L > 0$で常に正のため、無条件安定。

3. 双一次変換の特性​

特徴：

• 台形積分による近似
• 優れた周波数特性
• バランスの取れた精度

安定性： 連続時間システムが安定なら、離散化後も安定性が保持される。

精度と安定性の評価​

サンプリング周期の影響​

適用場面​

前進差分​

• 高速な計算が必要
• 小さなサンプリング周期
• リアルタイム処理

後退差分​

• 安定性が重要
• 大きなサンプリング周期
• ロバスト性が要求される場合

双一次変換​

• 高精度が必要
• 周波数特性の保持が重要
• 制御系設計

まとめ​

本シミュレーションにより以下のことが確認できる：

1. 精度比較: 双一次変換が最も高精度
2. 安定性: 後退差分と双一次変換が優秀
3. 計算効率: 前進差分が最も簡単
4. 実用性: 双一次変換が総合的に優れている

これらの数値積分手法の理解は、システム同定や制御系設計において重要な基礎知識となる。

システムモデル​

2次の線形離散時間システムを考える：

Z変換による表現​

伝達関数​

部分分数展開​

MATLABシミュレーションコード​

初期設定​

clear
close all
set(0,'DefaultAxesFontName','Times New Roman')
set(0,'DefaultAxesFontSize',12)

%--------------------------------------------------------------------
%  同定ゼミ宿題pdf p.13 線形離散時間システムモデルのシミュレーション
%                                                       4/13 by YANG
%---------------------------------------------------------------------

パラメータ設定​

% 初期パラメータ
Tmax = 10;           % シミュレーション時間
samp = 0.01;         % サンプリング周期
n = Tmax/samp;       % サンプル数
u = rand(1,n+1);     % 入力（一様乱数）

NSR = 0.0;           % 雑音信号比（Noise Signal Ratio）
% NSR 0, 0.1, 0.2で比較可能

% システムパラメータ
a1 = -1.5;
a2 = 0.7;
b1 = 1.0;
b2 = 0.5;

配列初期化​

t = zeros(1, n+1);   % 時間配列
x = zeros(1, n+1);   % 真の出力
y = zeros(1, n+1);   % 観測値（雑音付き）

システム応答計算​

% 真の出力の計算
for k = 3:n+1
    t(k) = (k-1) * samp;
    x(k) = -a1*x(k-1) - a2*x(k-2) + b1*u(k-1) + b2*u(k-2);
end

観測雑音の追加​

% ゼロ平均のガウス分布乱数（正規分布）
mu = 0;                    % 平均値
sigma = NSR * std(x);      % 標準偏差 NSR = sigma/std(x)
v = sigma * randn(1,n+1) + mu;

% 観測値の計算
for k = 3:n+1
    y(k) = x(k) + v(k);
end

結果のプロット​

subplot(2,2,1); plot(t,u); title('入力信号 u(t)');
subplot(2,2,2); plot(t,x); title('真の出力 x(t)');
subplot(2,2,3); plot(t,y); title('観測出力 y(t)');
subplot(2,2,4); plot(t,v); title('観測雑音 v(t)');

シミュレーション結果の解析​

雑音信号比（NSR）の影響​

• NSR = 0.0: 雑音なし、理想的な条件
• NSR = 0.1: 10%の雑音レベル
• NSR = 0.2: 20%の雑音レベル

システムの安定性​

システムの極は次の方程式の解： $z^2 - 1.5z + 0.7 = 0$

複素共役極： $z = \frac{1.5 \pm j\sqrt{0.55}}{2}$

極の大きさ： $|z| = \sqrt{0.7} \approx 0.837 < 1$

応用例​

このシミュレーションは以下の用途に応用できる：

1. システム同定: パラメータ$a_1, a_2, b_1, b_2$の推定
2. 雑音の影響評価: 異なるNSRレベルでの性能比較
3. 制御器設計: システム特性の理解
4. フィルタ設計: 雑音除去手法の検討

実装のポイント​

初期値の設定​

• 配列の初期化でzerosを使用
• ループはk=3から開始（過去2サンプルが必要）

雑音生成​

• randnでガウス分布乱数生成
• std(x)で真の出力の標準偏差を計算
• NSRによって雑音レベルを調整

プロット設定​

• subplotで複数のグラフを同時表示
• フォント設定で可読性を向上
• 日本語タイトルで理解しやすさを向上

まとめ​

本シミュレーションでは：

1. 差分方程式: 離散時間システムの直接実装
2. 雑音モデル: 実際的な観測条件のシミュレーション
3. 可視化: 入力、出力、雑音の関係の理解
4. パラメータ影響: NSRによる性能評価

これらの要素は、システム同定や制御系設計における基本的な数値実験の基盤となる。

MATLABは、科学技術計算やデータ分析、アルゴリズム開発などに利用される強力なツールですが、専用のMATLABエディタ以外で作業したい場合もあります。VSCodeは、とても人気なエディタであり、たくさんの開発環境に適用できます。例え、MATLAB、LaTex, Python, Cなどがあります。VSCode (Visual Studio Code) を使用してMATLABコードを編集、実行する方法について解説します。

1. 必要な準備​

VSCodeでMATLABを使用するためには、以下の手順を行う必要があります。

必要なソフトウェア​

1. MATLAB: MATLABがインストールされている必要があります。
2. VSCode: 最新バージョンのVisual Studio Codeをインストールしてください。
3. MATLAB Extension: VSCodeでMATLABコードをサポートするための拡張機能。
4. 推奨拡張機能:
   • Code Runner: ワンクリックでコードを実行。
   • Bracket Pair Colorizer: 括弧の対応を色分け。

2. VSCodeのセットアップ​

2.1 MATLAB拡張機能のインストール​

1. VSCodeを起動します。
2. サイドバーの「Extensions(拡張機能)」アイコンをクリックします（ショートカットキー: Ctrl+Shift+X）。
3. 検索バーに「MATLAB」と入力し、MathWorksが提供する公式のMATLAB拡張機能をインストールします。

2.2 MATLAB CLIパスの設定​

MATLABコードを実行するには、MATLABのコマンドラインインターフェイス (CLI) へのパスを指定する必要があります。

1. MATLABがインストールされているディレクトリを確認します:

   • Windowsの場合: C:\Program Files\MATLAB\R202Xx\bin\matlab.exe
   • macOSの場合: /Applications/MATLAB_R202Xx.app/bin/matlab
   • Linuxの場合: /usr/local/MATLAB/R202Xx/bin/matlab

2. VSCodeの設定を開きます（Ctrl+,）。

3. 検索バーにMATLAB Pathと入力し、MATLAB CLIのフルパスを設定します。

3. MATLABコードの編集と実行​

3.1 新しいMATLABスクリプトの作成​

1. VSCodeで新しいファイルを作成します（Ctrl+N）。
2. ファイルをexample.mとして保存します。
3. MATLABコードを書きます。以下は簡単な例です：

x = 0:0.1:10;
y = sin(x);
plot(x, y);
title('Sine Wave');
xlabel('x');
ylabel('sin(x)');

3.2 MATLABコードの実行​

1. ターミナルを開きます（`Ctrl+``）。
2. MATLAB CLIを使用してスクリプトを実行します：

matlab -r "example"

MATLABのデスクトップ環境が起動し、プロットが表示されます。

3.3 拡張機能 Code Runner による実行​

1. VSCodeで「Code Runner」拡張機能をインストールします。

   • 拡張機能の検索バーに「Code Runner」と入力し、インストールをクリック。

2. MATLABスクリプトを開き、右上の「Run Code」ボタンをクリックするだけでコードが実行されます。

   • または、Ctrl+Alt+Nで実行可能。

3. 実行結果はVSCodeの出力ターミナルに表示されます。

4. 補足情報​

MATLAB Live Scriptsの注意点​

VSCodeではMATLAB Live Scripts (.mlxファイル) の編集は直接サポートされていません。これらを編集する場合は、MATLAB専用のエディタを使用してください。

まとめ​

VSCodeでMATLABを使用することで、柔軟な作業環境を構築できます。特に、他のプログラミング言語と組み合わせたプロジェクトを扱う際には便利です。ぜひ試してみてください！

関連リンク​

• MATLAB公式サイト
• VSCode公式サイト
• MATLAB Extension for VSCode
• Code Runner Extension